BZOJ 4008 【动态规划/概率与期望/概率DP】

HNOI2015 亚瑟王

[Description]

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小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。

他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。作为一个非洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。
玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~ n。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。
每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。
一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌:
1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则
1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌);
否则(是最后一张),结束这一轮游戏。
2否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张
2.1将其以 pi的概率发动技能。
2.2如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。
2.3如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;否则,考虑下一张卡牌。
请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

[Solution]

感觉自己实力弱成狗,不会做就去看题解,看不懂就去抄代码,抄完还是不懂问别人也讲不清,简直给自己跪了。[Flag]这是最后一次了,以后还是要自己想题目。
有一个奇特的DP:
状态很奇特,如此理解:
设f[i][j]为r轮游戏中,有r-j轮选中1~i张牌,j轮选中i+1~n张牌的概率
所以答案就为$$ \sum_{i=1,j=1}^{n,r}d[i]×f[i-1][j]×(1-(1-p[i-1])^{j}) $$ 表示i的伤害乘上至少有一个选中i的概率
转移方程也很奇特:
$$ f[i][j]=f[i-1][j]×(1-p[i])^{j}+f[i-1][j+1]×(1-(1-p[i])^{j})) $$
意思是,f[i][j]意为r轮游戏,有j轮”通过”了i选中了后面的牌,概率分为两种情况,i没被选中过和被选中过。没被选中就是通过了i-1的j轮也都没通过i,选中了的就是有j+1轮通过i-1,但至少有一轮选中了i,导致还设有j轮通过i,虽然有点纠结,但还是可以理解的。
然后就可以愉快地AC辣~
去翻了下今年HNOI的成绩,这题得分最多的人也就40分,所以算得上是半个神题了==没做出来也不奇怪。
但这样想还是有点消极…要是明年省选遇到了怎么办呢?所以要不断吃电池涨力量!

[Code]

基本跟hzwer一样==

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>

const int maxn=300;
double p[maxn],p1[maxn];
int d[maxn];
double f[maxn][maxn/2];

int main(){
int T; scanf("%d",&T);
while(T--){
int n,r; scanf("%d%d",&n,&r);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]),p1[i]=1-p[i];
double ans=0;
memset(f,0,sizeof(f));
f[0][r]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=r;j++){
f[i][j]+=f[i-1][j]*pow(p1[i],j);
if(j) f[i][j-1]+=f[i-1][j]*(1-pow(p1[i],j)),ans+=f[i-1][j]*(1-pow(p1[i],j))*d[i];
}
printf("%lf\n",ans);
}
return 0;
}