组合数学八题

(题目来自朱全民老师PPT)
题目如下(样例: n=3 m=2)
A 给定N个不同的球,放进M个不同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案? 样例输出:8
B 给定N个不同的球,放进M个不同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案? 样例输出:6
C 给定N个不同的球,放进M个相同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案? 样例输出:4
D 给定N个不同的球,放进M个相同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案? 样例输出:3
E 给定N个相同的球,放进M个不同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案? 样例输出:4
F 给定N个相同的球,放进M个不同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案? 样例输出:2
G 给定N个相同的球,放进M个相同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案? 样例输出:2
H 给定N个相同的球,放进M个相同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案? 样例输出:1

因为题目顺序有点畸形,按照正常人的思维,如下做题顺序较优:
A F E G H D C B
分别辨析。

A 给定N个不同的球,放进M个不同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案?
[分析] 每个球都可以放在任意个盒子中。
[答案] $m^n$

F 给定N个相同的球,放进M个不同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案?
[分析] 题目转化为,将n个球放在一排,在它们之间n-1个空隙选m-1个插棍子将小球分为m部分,将每部分放进盒中,问有几种分法。
[答案] $C_{n-1}^{m-1}$

E 给定N个相同的球,放进M个不同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案?
[分析] 与上题类似,但有盒子可以为空,这就意味着两根棍子可以在同一缝隙。将问题转化,先在每个盒子放一个球再来放剩下N个球,与上题类似,将n+m个球放在一排,在它们之间n+m-1个空隙选m-1个插棍子将小球分为m部分。这样使得棍子不重合。
[答案] $C_{n+m-1}^{m-1}$

G 给定N个相同的球,放进M个相同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案?
[分析] 设答案为f[n][m],数值等于有空盒子的情况(f[n][m-1],n个球放在m-1个盒子里)加上没空盒子的情况(f[n-m][m],每个盒子放一个球,剩下n-m个球随便放)。
[递推式] f[n][m]=f[n][m-1]+f[n-m][m]
[边界条件] f[i][j]=1 (i=0 || j=1) , f[i][j]=f[i][i] (j>i)
H 给定N个相同的球,放进M个相同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案?
[分析] 先每个盒放一个球,再如G.
[答案] 0(m>n),f[n-m][m] (n>=m,f同G中的f)

D 给定N个不同的球,放进M个相同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案?
[分析] 设答案为f[n][m],答案为1 f[n-1][m-1] (第n个球放在第m个盒子,其余的放在其余的格子)+m f[n-1][m] (第n个球任意放,乘上n-1个球放在m个盒子中的方案数),这样能保证一定没有空盒子。
[递推式] f[n][m]=f[n-1][m-1]+m*f[n-1][m]
[边界条件] f[i][j]=1(i=j || j=1), 0(j>i)

C 给定N个不同的球,放进M个相同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案?
[分析] 与D有联系,为n个盒子放在1~m个盒子的方案数的总和
[答案] $\sum_{i=1}^{m}f[n][i]$

B 给定N个不同的球,放进M个不同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案?
[分析] 与D有联系,为n个盒子放在1~m个盒子的方案数的总和成上m个盒子的排列总数
[答案] $n!\sum_{i=1}^{m}f[n][i]$(f同D中的f)